Legendre 變換
Legendre transformation
$ p:= f'(x)
$ f^*(p):=\sup_x(px-f(x))
$ f^*(p):=-\inf_x(f(x)-px)
凸函數 ($ f'(x-0)\le p\le f'(x+0)) の部分に於いては$ f^*(p)=px-f(x) $ f^{**}(x)=f(x)が成り立つ
點座標$ (x,f(x))→接線座標$ (f'(x),f'(x)x-f(x))
Legendre - Fenchel 變換
$ H=\dot q p-L
熱力學函數の變數變換
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體積$ V
物質量$ N
壓力$ p
溫度$ T
化學 potential$ \mu
逆溫度$ \beta=\frac 1 T
熱力學的 potential
energy 表示
內部 energy$ U(S,V,N),$ dU=TdS-pdV+\mu dN
enthalpy (熱含量)$ H(S,p,N),$ dH=TdS+Vdp+\mu dN
grand potential$ J(T,N,\mu),$ dJ=-SdT-pdV-Nd\mu
entropy 表示
情報量 (entropy)$ S(U,V,N),$ dS=\frac 1 T dU+\frac p T dV-\frac \mu T dN Massieu 函數$ \Psi(\beta,V,N),$ d\Psi=-Ud\beta+\frac p T dV-\frac\mu T dN
Planck 函數$ \Phi(\beta,\frac p T,N),$ d\Phi=-Hd\beta-\frac V T dp-\frac\mu T dN
Kramers 函數$ q(\beta,V,\alpha),$ dq=-Ud\beta+\frac p T dV+Nd\alpha
$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V-P
$ \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T=V-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P
$ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V
$ \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S=-\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P
$ \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=-\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V
$ \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P
$ \frac{\partial(T,S)}{\partial(P,V)}=1
實在氣體
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